ИНТЕГРАЛЫ В ИНВОЛЮЦИИ

- решения дифференциальных уравнений, Якоби скобки к-рых равны нулю. Функция G(x, и, р)2n+1 переменных х=(x₁, ..., х _п), и, р=( р ₁, ..., р _п) еcть первый интеграл уравнения с частными производными первого порядка

если она постоянна вдоль каждой характеристики этого уравнения. Два первые интеграла G_i(x, и, р),i=l,2, находятся в инволюции, если их скобка Якоби тождественно равна нулю по ( х, и, р):

Вообще, две функции G₁, G₂ находятся в инволюции, если выполнено условие (2).Любой первый интеграл Gуравнения (1) находится в инволюции с F;последняя функция сама является первым интегралом.

Эти определения распространяются и на системы уравнений

При этом первый интеграл этой системы G(x, и, р )можно рассматривать как решение системы линейных уравнений

с неизвестной функцией G.

Если (3) является инволюционной системой, то (4) - полная система. Она инволюционна, если функции F;в (3) не зависят от и.

Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных, Л.- М., 1934; [2] Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. с нем., М., 1966.

А. П. Солдатов.